"Toán tử tuyến tính xác định trù mật và L2 đánh giá cho phương trình a"

Authors: Nguyễn, Thị Mai

Trong toán học, một phép biến đổi tuyến tính (còn được gọi là toán tử tuyến tính hoặc là ánh xạ tuyến tính) là một hàm giữa hai không gian vectơ mà bảo toàn được các thao tác cộng và nhân vô hướng vectơ. Nói một cách khác, nó bảo toàn tổ hợp tuyến tính.
Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, một phép biến đổi tuyến tính là một đẳng cấu giữa các không gian vectơ...

Một cách chính thức, nếu V và W là các không gian vectơ trên cùng một trường, chúng ta nói rằng ánh xạ ${\displaystyle \mathbf {f} :V\rightarrow W}$ là một (phép) biến đổi tuyến tính nếu cho bất kỳ hai vectơ x và y trong V và bất kỳ vô hướng a trong K, chúng ta có

${\displaystyle \mathbf {f} (x\pm y)=\mathbf {f} (x)\pm \mathbf {f} (y)\,}$ (tính kết hợp)

${\displaystyle \mathbf {f} (ax)=a\mathbf {f} (x)\,}$               (tính thuần nhất).

Điều này có ý nghĩa tương đương với khẳng định f   "bảo toàn tổ hợp tuyến tính", có nghĩa là, cho bất kỳ vector x₁,..., x_m và các vô hướng a₁,..., a_m, chúng ta có

${\displaystyle \mathbf {f} (a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m})=a_{1}\mathbf {f} (x_{1})+\cdots +a_{m}\mathbf {f} (x_{m}).}$

Thông thường, V và W có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa "tuyến tính". Nếu V và W thuộc không gian trên trường K như xác định ở trên, chúng ta nói về K-ánh xạ tuyến tính. Ví dụ, liên hợp của một số phức là một R-ánh xạ tuyến tính C → C, nhưng nó không phải là C-tuyến tính...

Chi tiết bài viết mời các bạn tham khảo tại đường link: http://repository.vnu.edu.vn/handle/VNU_123/20374